বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) হলো এমন সংখ্যা যা একটি রেখায় প্রদর্শন করা যায়। এটি পূর্ণ সংখ্যা, ভগ্নাংশ, দশমিক সংখ্যা, ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা, এমনকি শূন্যকেও অন্তর্ভুক্ত করে। বাস্তব সংখ্যার দুটি প্রধান শ্রেণি রয়েছে: সসীম দশমিক সংখ্যা এবং অসীম পুনরাবৃত্তি বা অসীম অপূরণীয় দশমিক সংখ্যা।

বাস্তব সংখ্যার ধরনগুলো:

1. ধনাত্মক সংখ্যা: যেমন \( 1, 2, 3, \ldots \)
2. ঋণাত্মক সংখ্যা: যেমন \( -1, -2, -3, \ldots \)
3. শূন্য: যা ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক নয়।

অসমতা (Inequality) হলো এক ধরনের গাণিতিক সম্পর্ক যা দেখায় যে দুটি মানের মধ্যে তুলনা বা পার্থক্য আছে। এটি মূলত চার ধরণের হতে পারে:

1. বড় (>): \( a > b \) বোঝায় \( a \) সংখ্যা \( b \)-এর চেয়ে বড়।
2. ছোট (<): \( a < b \) বোঝায় \( a \) সংখ্যা \( b \)-এর চেয়ে ছোট।
3. বড় বা সমান (\(\geq\)): \( a \geq b \) বোঝায় \( a \) সংখ্যা \( b \)-এর চেয়ে বড় বা সমান।
4. ছোট বা সমান (\(\leq\)): \( a \leq b \) বোঝায় \( a \) সংখ্যা \( b \)-এর চেয়ে ছোট বা সমান।

বাস্তব সংখ্যা ও অসমতার প্রয়োগ: বাস্তব সংখ্যার মধ্যে তুলনা করার জন্য অসমতা ব্যবহার করা হয়। যেমন, যদি বলা হয় \( x > 5 \), তাহলে \( x \) এমন কোনো সংখ্যা হবে যা পাঁচের চেয়ে বড়।

বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) হলো এমন সংখ্যা যেগুলি একটি রেখায় প্রদর্শিত হতে পারে এবং পূর্ণ সংখ্যা, ভগ্নাংশ, দশমিক সংখ্যা, ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা, এমনকি শূন্যও অন্তর্ভুক্ত করে। বাস্তব সংখ্যা \( \mathbb{R} \) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার উপসেটগুলো:

1. প্রাকৃতিক সংখ্যা (Natural Numbers):
   প্রাকৃতিক সংখ্যা হলো \(1, 2, 3, 4, \ldots\) সংখ্যা। এটি \( \mathbb{N} \) দ্বারা চিহ্নিত এবং শুধুমাত্র ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
2. পূর্ণ সংখ্যা (Whole Numbers):
   পূর্ণ সংখ্যা হলো \(0, 1, 2, 3, \ldots\) সংখ্যা, যা শূন্যসহ প্রাকৃতিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত। এটি সাধারণত \( \mathbb{W} \) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
3. পূর্ণসংখ্যা (Integers):
   পূর্ণসংখ্যা হলো ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি, যেমন: \( \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \)। এটি \( \mathbb{Z} \) দ্বারা চিহ্নিত।
4. পরিমেয় সংখ্যা (Rational Numbers):
   পরিমেয় সংখ্যা এমন সংখ্যা যা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেমন \( \frac{a}{b} \), যেখানে \( b \neq 0 \)। উদাহরণস্বরূপ, \( \frac{1}{2}, \frac{-3}{4}, 0.75 \) ইত্যাদি। এটি \( \mathbb{Q} \) দ্বারা চিহ্নিত।
5. অপরিমেয় সংখ্যা (Irrational Numbers):
   অপরিমেয় সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা দশমিক আকারে অসীম ও পুনরাবৃত্তিহীন থাকে এবং দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। যেমন \( \sqrt{2}, \pi, e \) ইত্যাদি। এই সংখ্যা সমূহ \( \mathbb{Q}' \) বা \( \mathbb{I} \) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

বাস্তব সংখ্যা শ্রেণীকরণ:
বাস্তব সংখ্যা দুটি মূল উপশ্রেণিতে বিভক্ত:

• পরিমেয় সংখ্যা (Rational Numbers): যেগুলি ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা হিসাবে পুনরাবৃত্তি বা সসীম আকারে থাকে।
• অপরিমেয় সংখ্যা (Irrational Numbers): যেগুলি ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না এবং দশমিক আকারে অসীম ও পুনরাবৃত্তিহীন থাকে।

বাস্তব সংখ্যা: \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \)

সারাংশে: বাস্তব সংখ্যার বিভিন্ন উপসেট আমাদের সংখ্যার শ্রেণীকরণকে সহজ করে তোলে এবং বিভিন্ন গাণিতিক বিশ্লেষণে ব্যবহার করা হয়।

পরমমান (Absolute Value) সম্বলিত অসমতা হলো এমন অসমতা যেখানে একটি সংখ্যা বা চলকের পরমমানের মান নির্ধারণ করা হয় এবং তার সাথে তুলনা করা হয়। পরমমান (| | চিহ্ন) সংখ্যা বা চলকের ধনাত্মক মান বোঝায়, যেমন \( |x| \) এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে।

পরমমান সম্বলিত অসমতার ধরন:

1. \( |x| < a \):
   যখন \( |x| < a \) থাকে, তখন এটি বোঝায় যে \( x \) সংখ্যাটি \( -a \) এবং \( +a \) এর মধ্যে রয়েছে। অর্থাৎ:
   \[
   -a < x < a
   \]

   উদাহরণস্বরূপ, \( |x| < 3 \) বোঝায় \( -3 < x < 3 \)।

2. \( |x| > a \):
   যখন \( |x| > a \) থাকে, তখন এটি বোঝায় যে \( x \) সংখ্যাটি \( -a \) এবং \( +a \) এর বাইরে রয়েছে। অর্থাৎ:
   \[
   x < -a \quad \text{অথবা} \quad x > a
   \]

   উদাহরণস্বরূপ, \( |x| > 5 \) বোঝায় \( x < -5 \) অথবা \( x > 5 \)।

অন্য উদাহরণগুলো:

• \( |x - b| < a \): এখানে \( x - b \) এর পরমমান \( a \) এর চেয়ে ছোট, এর মানে হলো \( x \) \( b - a \) এবং \( b + a \) এর মধ্যে:
  \[
  b - a < x < b + a
  \]
• \( |x - b| > a \): এখানে \( x - b \) এর পরমমান \( a \) এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ:
  \[
  x < b - a \quad \text{অথবা} \quad x > b + a
  \]

পরমমান সম্বলিত অসমতা সমাধানের ধাপ:

1. প্রথমে পরমমানটি অপসারণ করুন এবং দুটি অসমতা রূপে লিখুন।
2. অসমতাগুলি আলাদাভাবে সমাধান করুন।
3. ফলাফলগুলো মিলিয়ে উত্তর নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ:

যদি \( |x - 2| < 4 \) থাকে, তবে এটি দুইভাবে লেখা যায়:
\[
-4 < x - 2 < 4
\]
এখন \( x \)-এর জন্য সমাধান করে পাই:
\[
-4 + 2 < x < 4 + 2
\]
অর্থাৎ,
\[
-2 < x < 6
\]

পরমমান সম্বলিত অসমতা গণিতের বিভিন্ন সমস্যায় এবং বাস্তব জীবনের মাপজোখে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, কারণ এটি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানকে বিবেচনায় নিয়ে কাজ করে।

এক চলকের অসমতাকে সংখ্যারেখার সাহায্যে সমাধান করা হলো একটি উপায় যার মাধ্যমে অসমতার মান দেখতে সহজ হয়। এটি এমন একটি পদ্ধতি যেখানে সংখ্যারেখার উপর একটি নির্দিষ্ট পরিসীমা চিহ্নিত করা হয়। নিচে এক চলকের অসমতা সংখ্যারেখার সাহায্যে কিভাবে সমাধান করা যায় তার ধাপসমূহ বর্ণনা করা হলো।

ধাপসমূহ:

1. অসমতা সমাধান করুন: প্রথমে অসমতার জন্য নির্দিষ্ট পরিসীমা বা মান নির্ধারণ করুন।
2. সংখ্যারেখা অঙ্কন করুন: একটি রেখা আঁকুন এবং তাতে প্রাসঙ্গিক সংখ্যাগুলি চিহ্নিত করুন।
3. চিহ্নিত করুন:
   • যদি অসমতা \( < \) বা \( > \) হয়, তাহলে নির্দিষ্ট স্থানে একটি ফাঁকা বৃত্ত (open circle) ব্যবহার করুন, কারণ এই বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত নয়।
   • যদি অসমতা \( \leq \) বা \( \geq \) হয়, তাহলে একটি পূর্ণ বৃত্ত (closed circle) ব্যবহার করুন, কারণ এই বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত।
4. সংখ্যারেখায় অঞ্চলের দিক নির্দেশনা দিন: নির্ধারিত পরিসীমার বাইরে বা মধ্যে যে দিকটি অন্তর্ভুক্ত, সেখানে একটি তীরচিহ্ন দিয়ে অঞ্চলটি নির্দেশ করুন।

উদাহরণ ১: \( x > 2 \)

এখানে \( x \) এর মান ২-এর চেয়ে বড়।

• প্রথমে, সংখ্যারেখায় ২ চিহ্নিত করুন এবং এর উপরে একটি ফাঁকা বৃত্ত দিন।
• এরপর, ২ এর ডান দিকে একটি তীরচিহ্ন দিন, যা দেখায় যে \( x \)-এর মান ২-এর চেয়ে বড়।

সংখ্যারেখায় চিত্র:
\[
\text{←} \quad |---|---|---|---|---(2)---→
\]

উদাহরণ ২: \( x \leq -3 \)

এখানে \( x \)-এর মান \( -3 \) বা এর চেয়ে ছোট।

• সংখ্যারেখায় \( -3 \) চিহ্নিত করুন এবং এর উপরে একটি পূর্ণ বৃত্ত দিন।
• এরপর, \( -3 \)-এর বাম দিকে একটি তীরচিহ্ন দিন, যা দেখায় যে \( x \)-এর মান \( -3 \) বা এর চেয়ে ছোট।

সংখ্যারেখায় চিত্র:
\[
\text{←}---(-3)---|---|---|---→
\]

উদাহরণ ৩: \( -4 < x \leq 1 \)

এখানে \( x \)-এর মান \( -4 \) এবং \( 1 \) এর মধ্যে, যেখানে \( -4 \) অন্তর্ভুক্ত নয় কিন্তু \( 1 \) অন্তর্ভুক্ত।

• \( -4 \)-এ একটি ফাঁকা বৃত্ত দিন।
• \( 1 \)-এ একটি পূর্ণ বৃত্ত দিন।
• \( -4 \) থেকে \( 1 \) পর্যন্ত একটি রেখা আঁকুন।

সংখ্যারেখায় চিত্র:
\[
\text{←} \quad |---(-4)---|---|---(1)---→
\]

এই ধরনের উপস্থাপনা অসমতার মান বোঝার ক্ষেত্রে সহজ করে এবং পাঠককে একটি পরিষ্কার ধারণা দেয় যে সংখ্যারেখায় কোন মানগুলো অন্তর্ভুক্ত বা অন্তর্ভুক্ত নয়।